案例背景

对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．

案例叙述：

(一).创设情境

（师）：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．

（提问）：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

（学生）： 是指数函数，它是存在反函数的．

（师）：求反函数的步骤

（由一个学生口答求反函数的过程）：

由 得 ．又 的值域为 ，

所求反函数为 ．

（师）：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．

（二）新课

1.（板书） 定义：函数 的反函数 叫做对数函数．

（师）：由于定义就是从反函数角度给出的.，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

（教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流）

（学生）对数函数的定义域为 ，对数函数的值域为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 ．

（在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．）

2．研究对数函数的图像与性质

（提问）用什么方法来画函数图像?

（学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．

（学生2）用列表描点法也是可以的。

请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图．

（师）由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图．

具体操作时，要

(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．

(2) 画出直线 ．

(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分．

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和 的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3. 性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可说明图像位于 轴的右侧．

(3)图像恒过(1,0)

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称．

(5) 单调性：与 有关．当 时，在 上是增函数．即图像是上升的

当 时，在 上是减函数，即图像是下降的．

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当 时，有 ；当 时，有 ．

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．

（三）．简单应用

1. 研究相关函数的性质

例1. 求下列函数的定义域：

(1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．

2. 利用单调性比较大小

例2. 比较下列各组数的大小

(1) 与 ； (2) 与 ；

(3) 与 ； (4) 与 ．

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．

三．拓展练习

练习：若 ，求 的取值范围．

四．小结及作业

案例反思：

本节的重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在上采取教师逐步引导，学生自主合作的方式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．

导语：讲授新课前，做一份完美的

教学目标

1。使学生掌握的概念，图象和性质。

（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

（3） 能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如 的图象。

2。 通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

3。通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

教学建议

教材分析

（1） 是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

（2） 本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数 在 和 时，函数值变化情况的区分。

（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的.函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

教法建议

（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是 的样子，不能有一点差异，诸如 ， 等都不是。

（2）对底数 的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

教学设计示例

课题

教学目标

1。 理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。

2。 通过的图象和性质的学习，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

3。 通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。

教学重点和难点

重点是理解的定义，把握图象和性质。

难点是认识底数对函数值影响的认识。

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一。 引入新课

我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数———————。

1。6。（板书）

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂 次后，得到的细胞分裂的个数 与 之间，构成一个函数关系，能写出 与 之间的函数关系式吗？

由学生回答： 与 之间的关系式，可以表示为 。

问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了 次后绳子剩余的长度为 米，试写出 与 之间的函数关系。

由学生回答： 。

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量 均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。

一。 的概念（板书）

1。定义：形如 的函数称为。（板书）

教师在给出定义之后再对定义作几点说明。

2。几点说明 （板书）

（1） 关于对 的规定：

教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若 会有什么问题？如 ，此时 ， 等在实数范围内相应的函数值不存在。

若 对于 都无意义，若 则 无论 取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定 且 。

（2）关于的定义域 （板书）

教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时， 也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为 。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。

（3）关于是否是的判断（板书）

刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。

（1） ，  （2） ，   （3）

（4） ，   （5） 。

学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3） 可以写成 ，也是指数图象。

最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。

3。归纳性质

作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。

1。定义域 ：

2。值域：

3。奇偶性 ：既不是奇函数也不是偶函数

4。截距：在 轴上没有，在 轴上为1。

对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于 轴上方，且与 轴不相交。）

在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故 的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。

此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当 越小，图象越靠近 轴， 越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。

二。图象与性质（板书）

1。图象的画法：性质指导下的列表描点法。

2。草图：

当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且 ，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取 为例。

此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单。即 = 与 图象之间关于 轴对称，而此时 的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到 的图象。

最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较，再找共性）

由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：

以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。

填好后，让学生仿照此例再列一个 的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。

3。性质。

（1）无论 为何值， 都有定义域为 ，值域为 ，都过点 。

（2） 时， 在定义域内为增函数， 时， 为减函数。

（3） 时， ，      时， 。

总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。

三。简单应用    （板书）

1。利用单调性比大小。  （板书）

一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。

例1。 比较下列各组数的大小

（1） 与 ;  （2） 与 ;

（3） 与1 。（板书）

首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。

解： 在 上是增函数，且

< 。（板书）

教师最后再强调过程必须写清三句话：

（1） 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。

（2） 自变量的大小比较。

（3） 函数值的大小比较。

后两个题的过程略。要

例2。比较下列各组数的大小

（1） 与 ;  （2） 与   ;

（3） 与 。（板书）

先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说 可以写成 ，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说 可以写成 ，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）

最后由学生说出 >1，<1，>。

解决后由教师小结比较大小的方法

（1） 构造函数的方法： 数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）

（2） 搭桥比较法： 用特殊的数1或0。

三。巩固练习

练习：比较下列各组数的大小（板书）

（1） 与      （2） 与 ;

（3） 与 ; （4） 与 。解答过程略

四。小结

1。的概念

2。的图象和性质

3。简单应用

五 。板书设计

一. 教学内容：

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二. 教学目标：

理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三. 教学重点：函数性质的运用．

四. 教学难点：函数性质的理解。

［学习过程］

一、知识归纳：

1. 求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法：

①换元法（ 注意新元的取值范围）

②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

③整体代换（配凑法）

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域

求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

3. 求函数值域（最值）的一般方法：

（1）利用基本初等函数的值域；

（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函数）

（4）函数的`单调性：特别关注 的图象及性质

（5）部分分式法、判别式法（分式函数）

（6）换元法（无理函数）

（7）导数法（高次函数）

（8）反函数法

（9）数形结合法

4. 求函数的单调性

（1）定义法：

（2）导数法：

（3）利用复合函数的单调性：

（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；

（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等

（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

5. 函数的奇偶性

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（－x）的关系。f（x） －f（－x）＝0 f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数；

f（x）+f（－x）＝0 f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数。

判别方法：定义法，图象法，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。

其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析

例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。

分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝222＝8个。

例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。

解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，

x2＝22+y2－4ycosAMB ①

（6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②

①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14

又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，

又三点A、B、C能构成三角形

1＜x＜5

2若三点A、B、C共线，由题意可知，

x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5

综上所述：

说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。

解：（1）当x－1时，设f（x）＝x+b

∵射线过点（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2

（2）当－11时，设f（x）＝ax2+2

∵抛物线过点（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1

f（x）＝－x2+2

（3）当x1时，f（x）＝－x+2

综上可知：f（x）＝ 作图由读者来完成。

例4. 求下列函数的定义域

（1） （2）

解：（1）

x4或x－1且x－3，即函数的定义域为（－，－3）（－3，－1）[4，+]

（2） ，则

0x2－3x－108，即

－3x＜－2或5＜x6即定义域为[－3，－2]（5，6）

说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，求 的定义域。

解： ，则

又 ， 或

则 或 即为所求函数的定义域。

说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把 看成是由y＝f（u）、 两个函数复合而成的，因为－1u＜4，则 ，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。

例5. 若对于任何实数x，不等式： 恒成立，求实数a的取值范围。

解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为

5－3x x＜1

f（x）＝ 3－xx2

3x－5 x＞2

作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。

说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6. 求函数 的值域。

解：令 ，则13－4x＝t2

该二次函数的对称轴为t＝1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，原函数的值域为（－，4）。

说明：对于所有形如 的函数，求值域时我们可以用换元法令

转化为关于t的二次函数在区间[0，+）上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如：已知f（x）的值域为 ，试求函数 的值域。该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域，若令 ，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：－22，则－11的话，我们就可以用三角换元：令 [0，]，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时， 恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例7. 求下列函数的最值。

（1） （2）

解：（1）先求出函数的定义域：

－27，又在区间[－2，7]上函数 单调递增， 单调递增，所以 在定义域内也单调递增。

当x＝－2时， ；当x＝7时，

（2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：

y2＝x2（1－x2） ，又y， 。

说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。

例8. 设a＞0，x[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

∵a＞0， ＜0，又定义域为[－1，1]

x＝1时 ，即－1－a+b＝－1 a－b＝0

下面分a的情形来讨论：

1当0＞ －1即0＜a2时，

当 时， 即 ，则

a2+4a－4＝0，

又a（0，2），则

2当 ＜－1，即a＞2时，当x＝－1时

－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 与a＞2矛盾，舍去

综上所述：x＝1时， ， 时 。

例9. 已知函数y＝f（x）＝ （a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）

（1）试求函数f（x）的解析式；

（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

解：（1）∵f（x）是奇函数，

f（－x）＝－f（x），即

c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，

当且仅当x＝ 时等号成立，于是2 ＝2，a＝b2，

由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+

（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则

消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1

y＝f（x）的图象上存在两点（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）关于（1，0）对称

例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）对所有［0， ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由

解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos2－3）f（2mcos－4m），

即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2

设t＝cos，则问题等价地转化为函数

g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－ ）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正

当 0，即m0时，g（0）＝2m－21与m0不符；

当01时，即02时，g（m）＝－ +2m－20

4－2 4+2 ，?4－2 2

当 1，即m2时，g（1）＝m－11 m2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m4－2

另法（仅限当m能够解出的情况）cos2－mcos+2m－20对于［0， ］恒成立，

等价于m（2－cos2）/（2－cos） 对于［0， ］恒成立

∵当［0， ］时，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，

m4－2

例11. 设a为实数，记函数f（x）＝a 的最大值为g（a）。

（1）设t＝ ，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；

（2）求g（a）；

（3）求满足g（a）＝g（ ）的所有实数a.

解：（1）∵t＝

要使t有意义，必须有1+x0且1－x0，即－11.

∵t2＝2+2 [2，4]，t ……①

t的取值范围是[ ，2]由①得 ＝ x2－1

m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t[ ，2]

（2）由题意知g（a）即为函数m（t）＝ at2+t－a， t[ ，2]的最大值.

注意到直线t＝－ 是抛物线m（t）＝ at2+t－a的对称轴，分下列情况讨论.

当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t＝－ 0知m（t）在[ ，2]上单调递增，

g（a）＝m（2）＝a+2.

当a＝0时，m（t）＝t， t[ ，2]， g（a）＝2.

当a0时，函数y＝m（t）， t[ ，2]的图像是开口向下的抛物线的一段，

若有t＝－ [0， ]，即a－ ，则g（a）＝m（ ）＝ .

若有t＝－ （ ，2），即a ，则g（a）＝m（－ ）＝－a－ .

若有t＝－[0， ]，即a ，则g（a）＝m（2）＝a+2.

综上有g（a）＝

（3）当a－ 时，g（a）＝a+2 ，

当 时，－a ，，所以 ，

g（a）＝ 2 ＝ .因此当a－ 时，g（a）.

当a0时， 0，由g（a）＝g（ ）知a+2＝ +2解得a＝1.

当a0时， ＝1，因此a－1或 －1，从而g（a）＝ 或g（ ）＝ .

要使g（a）＝g（ ），必须有a－ 或 － ，即－ －

此时g（a）＝ ＝g（ ）.

综上知，满足g（a）＝g（ ）的所有实数a为：－ － 或a＝1.